[ps java] BOJ 1912 연속합 해설 (카데인 알고리즘)

DP를 학습하기 좋은 웰-노운 문제이다 [실버2] 

https://www.acmicpc.net/problem/1912

 

문제

n개의 정수로 이루어진 임의의 수열이 주어진다. 우리는 이 중 연속된 몇 개의 수를 선택해서 구할 수 있는 합 중 가장 큰 합을 구하려고 한다. 단, 수는 한 개 이상 선택해야 한다.

예를 들어서 10, -4, 3, 1, 5, 6, -35, 12, 21, -1 이라는 수열이 주어졌다고 하자. 여기서 정답은 12+21인 33이 정답이 된다.

입력

첫째 줄에 정수 n(1 ≤ n ≤ 100,000)이 주어지고 둘째 줄에는 n개의 정수로 이루어진 수열이 주어진다. 수는 -1,000보다 크거나 같고, 1,000보다 작거나 같은 정수이다.

출력

첫째 줄에 답을 출력한다.

예제 입력 1

10
10 -4 3 1 5 6 -35 12 21 -1

예제 출력 1

33

예제 입력 2

10
2 1 -4 3 4 -4 6 5 -5 1

예제 출력 2

14

예제 입력 3

5
-1 -2 -3 -4 -5

예제 출력 3

-1

 

 

 

만약 우리가 DP를 사용하지 않고 브루트 포스로 풀게 된다면 답안은 잘 나오지만 O(n^2) 의 시간 복잡도가 걸려 터지게 된다

1) 브루트 포스 풀이

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));

        int n = Integer.parseInt(br.readLine());
        StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
        int[] arr = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            arr[i] = Integer.parseInt(st.nextToken());
        }
        printMax(arr, n);

        br.close();
    }

    private static void printMax(int[] arr, int n) {
        int max = -2147483648;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int res = 0;
            for (int j = i; j < n; j++) {
                res += arr[j];
                if (res > max) {
                    max = res;
                }
            }
        }
        System.out.println(max);
    }
}

 

 

따라서 우리는 브루트 포스가 아닌, O(n) 으로 해결할 수 있는 DP 를 사용해야 한다.

그리고 DP 중 하나인 카데인 알고리즘에 대해 설명하려 한다.

 

ㅇ카데인 알고리즘(Kadane's Algorithm): 연속 부분 배열의 최대 합을 구하는 효율적인 방법

- O(n) 시간 복잡도

- DP(동적 계획법, Dynamic Programming) 사용

※ DP를 사용하지 않는 투 포인터, 슬라이딩 윈도우 문제에서도 간간히 사용된다

 

2) DP(카데인 알고리즘) 풀이

설명은 주석으로 다 해놓았다!

import java.io.*;
import java.util.*;

// 카데인 알고리즘: DP - O(n)
// 각 위치에서 "연속합을 이어갈 것인가, 새로 시작할 것인가”를 점화식으로 나타낸다
public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));

        int n = Integer.parseInt(br.readLine());
        StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
        int[] arr = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            arr[i] = Integer.parseInt(st.nextToken());
        }
        printMax(arr, n);

        br.close();
    }

    private static void printMax(int[] arr, int n) {
        int res = arr[0];

        int[] dp = new int[n];
        dp[0] = arr[0];
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + arr[i], arr[i]); // 각각의 최대 부분합은 이전 최대 부분합이 반영된 결과값
            res = Math.max(dp[i], res); // 현재까지의 최대 연속합 갱신
        }

        System.out.println(res);
    }
}

각 위치에서 "연속합을 이어갈 것인가, 새로 시작할 것인가”를 점화식으로

 

 

 

 

외국 유명 IT 회사 코테에서는 카데인 알고리즘 문제가 굉장히 많이 나온다고 한다.

꼭 잘 숙지하도록 하자!

 

비슷한 문제: BOJ 5953 [실버1]

https://www.acmicpc.net/problem/5953