[알고리즘] ep3) 탐색트리

ㅇ이진탐색트리(BST, Binary Search Tree): 노드의 왼쪽 가지에는 노드보다 작은 값들만 있고, 노드의 오른쪽 가지에는 노드보다 큰 값들만 있도록 구성

key = 7을 찾는 과정

 

내부노드에 (key, value)쌍을 저장하며 그림으로는 간단히 노드에 key만 표시한다

(왼쪽 및 오른쪽 부트리 또한 각각 이진탐색트리이다)

 

<재귀버전>

// 재귀버전
int binarySearch(int* arr, int lowIdx, int highIdx, int key) {
    if (lowIdx > highIdx) {
        if (highIdx < 0) return -1; // 찾고자 하는 값보다 작은 값이 없는 경우
        return highIdx; // 가장 가까운 작은 값의 인덱스를 반환
    }

    int midIdx = lowIdx + (highIdx - lowIdx) / 2;
    if (arr[midIdx] > key) { // 중간값이 키값보다 큰 경우, 왼쪽 절반을 탐색
        return binarySearch(arr, lowIdx, midIdx - 1, key);
    }
    else if (arr[midIdx] < key) { // 중간값이 키값보다 작은 경우, 오른쪽 절반을 탐색
        return binarySearch(arr, midIdx + 1, highIdx, key);
    } 
    else if (arr[midIdx] == key) {
        return midIdx;
    } 
}

 

<비재귀버전>

// 비재귀버전
int binarySearch(int* arr, int n, int key) {
    int lowIdx = 0, highIdx = n - 1;
    int res = n; // 기본값을 n으로 설정, 찾는 값이 없을 경우 n을 반환
    while (lowIdx <= highIdx) {
        int midIdx = lowIdx + (highIdx - lowIdx) / 2;
        if (arr[midIdx] >= key) { // 중간값이 키값보다 크거나 같은 경우, 왼쪽 절반을 탐색
            highIdx = midIdx - 1;
            res = midIdx; // 현재 위치를 잠재적인 결과로 저장
        } 
        else { // 중간값이 키값보다 작은 경우, 오른쪽 절반을 탐색
            lowIdx = midIdx + 1;
        }
    }
    return res;
}

 

 

평균 / 최선: O(log n) - 이진탐색

 

최악: O(n) - 트리가 한쪽으로 치우친 경우

 

 

이러한 최악의 O(n) 시간복잡도가 생기는 경우를 막기 위해 나온 것이 자가 균형 이진탐색트리이다

ㅁ자가 균형 이진탐색트리(Self-Balancing Binary Search Tree): 트리가 항상 균형을 유지하도록 하여 최악의 경우에도 O(log n)의 시간복잡도를 보장한다

 

ㅇAVL 트리: 모든 노드의 왼쪽 서브트리와 오른쪽 서브트리의 높이 차이가 최대 1인 트리

※ AVL(Adelson-Velsky and Landis)은 발명자 이름 약자이다

부트리들 또한 각각 AVL 트리이다

 

균형인자 or 균형인수 (BF, Balance Factor): 왼쪽 서브트리 높이 − 오른쪽 서브트리 높이

각 노드의 BF는 -1, 0, 1 중 하나의 값을 가진다

• BF가 0이면, 해당 노드의 왼쪽 서브트리와 오른쪽 서브트리의 높이가 같다
• BF가 1이면, 왼쪽 서브트리가 오른쪽 서브트리보다 한 단계 더 높다
• BF가 -1이면, 오른쪽 서브트리가 왼쪽 서브트리보다 한 단계 더 높다

따라서 깨진 균형을 맞추기 위해 삽입/삭제를 할 때마다 트리의 일부를 왼쪽 혹은 오른쪽으로 회전(rotate)시킨다

[AVL 트리의 회전 연산(rotation) 네 가지]

단일 회전(Single Rotation)

- LL 회전: 왼쪽 자식의 왼쪽 부트리로 인해 불균형이 발생한 경우 

불균형이 일어난 노드를 기준으로 오른쪽으로 회전

 

 

- RR 회전: 오른쪽 자식의 오른쪽 부트리로 인해 불균형이 발생한 경우

불균형이 일어난 노드를 기준으로 왼쪽으로 회전

 

 

이중 회전(Double Rotation)

- LR 회전: 왼쪽 자식의 오른쪽 부트리로 인해 불균형이 발생한 경우

왼쪽 자식에 대해 왼쪽 회전(RR)을 하고, 전체 트리에 대해 오른쪽 회전(LL)

RR + LL

 

 

- RL 회전: 오른쪽 자식의 왼쪽 부트리로 인해 불균형이 발생한 경우

오른쪽 자식에 대해 오른쪽 회전(LL)을 하고, 전체 트리에 대해 왼쪽 회전(RR)

 

LL + RR

 

 

 

 

ㅇ스플레이 트리(Splay Tree): 빈번하게 접근되는 요소들이 더 빠르게 접근될 수 있도록 재구성하는 트리

스플레이(splay) 연산을 통해 트리를 균형 상태로 유지한다

 

[스플레이 상황]

*스플레이 연산:  특정 노드에 접근할 때, 그 노드를 루트로 이동시키는 연산

 

[스플레이 트리의 회전 연산(rotation) 세 가지]

1. Zig 회전: 노드가 루트의 자식일 때 사용

 

 

2. Zig-Zig 회전: 노드와 그 부모 노드가 모두 같은 방향(왼쪽 또는 오른쪽)의 자식일 때 사용

 

 

3. Zig-Zag 회전: 노드와 그 부모 노드가 서로 다른 방향의 자식일 때 사용

 

 

[스플레이 과정 예시]

3가지 모두 스플레이가 일어날 수 있는 상황이다

① 키 14에 대한 성공적인 탐색 or 키 15에 대한 실패한 탐색

② 키 14을 삽입

③ 키 14를 저장한 노드의 자식노드를 삭제

초기 상황

 

Zig-Zag

 

Zig-Zig

 

Zig-Zig

 

 

 

ㅇ레드-블랙 트리: 노드가 블랙 또는 레드의 색깔을 갖는 트리

- 루트 노드는 항상 블랙 노드

- 레드 노드의 자식은 블랙 노드 (두 개의 연속된 레드 노드 x)

- 모든 리프 노드(더미 노드)는 블랙

- 삽입과 삭제 시 경우에 따라 노드의 색 변환 또는 트리 회전(rotate)이 필요

 

구현은 꽤나 복잡하지만 실 사용에선 매우 효율적인 모습을 보인다

 

 

ㅇ2-3 트리: 각 노드가 2개 또는 3개의 자식을 가질 수 있는 트리

"모든 리프 노드가 동일한 깊이에 위치"

 

 

ㅇ2-3-4 트리: 각 노드가 2개 또는 3개 또는 4개의 자식을 가질 수 있는 트리

"모든 리프 노드가 동일한 깊이에 위치"

(B트리와 매우 유사하다)

 

 

ㅇB트리: 다방향 트리로, 각 노드가 여러 개의 자식을 가질 수 있다

"모든 리프 노드가 동일한 깊이에 위치"

(DB or 파일 시스템에서 많이 사용된다)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

출처 및 참고: 알고리즘-원리와 응용(국형준교수님), Algorithm Design(Jon Kleinberg, Eva Tardos), Foundations of Algorithms using C++(Richard Neapolitan)